Universidad Pedagogica de El Salvador

Marco teórico.

Razones y Proporciones:

Razón:

Razón son los números dados en un cierto orden distintos de cero se llama razón al cociente entre ellos y la proporción son cuatro números distintos a cero en un cierto orden constituye una proporción si la razón de los dos números primeros es igual a la razón de los dos segundos, una de las más importantes aplicaciones de las proporciones está en la resolución de los problemas de regla de tres simple y la compuesta.

Llamaremos Razón de dos números a su cociente indicado.

En matemática, una razón es una relación entre dos magnitudes (es decir, objetos, personas, estudiantes, cucharadas, unidades del SI, etc.), generalmente se expresa como "a es a b" o a: b.

Unidades

Cuando las magnitudes comparten la misma unidad se puede expresar como un  cociente adimensional de los dos.
En el caso que no compartan dimensiones se dejan explicitas las unidades. Por ejemplo, 50 g/ml, unidad común en recetas de cocina.

Progresiones

La razón geométrica es la comparación de dos cantidades por su cociente, donde se ve cuántas veces contiene una a la otra. Sólo si las magnitudes a comparar tienen la misma unidad de medida la razón es adimensional.
Una razón «X: Y» se puede leer como «X sobre Y», o bien «X es a Y».
El numerador de la razón (es decir, el X) se llama antecedente y al denominador (el Y) se le conoce como consecuente.

Ejemplo

18:6 representa la razón de 18 entre 6, que es igual a 3 (18 tiene tres veces 6). Su razón geométrica es 3, su antecedente 18, y su consecuente 6.

 

Razón aritmética

La razón aritmética de dos cantidades es la diferencia (o restas) de dichas cantidades. La razón aritmética se puede escribir colocando entre las dos cantidades el signo. O bien con el signo -. Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6.4 o 6-4.

El primer término de una razón aritmética recibe el nombre de antecedente y el segundo el de consecuente. Así en la razón 6-4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.
Toda razón se puede expresar como una fracción y eventualmente como un decimal.

Propiedades de las razones aritméticas

Como la razón aritmética de dos cantidades no es más que la resta indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda suma o restas.

Primera propiedad

Si al antecedente se le suma o resta una cantidad la razón aritmética queda aumentada o disminuida dicha cantidad.

• Primer caso (con la suma)

Sea la razón aritmética 7 a 5 es igual a 2:

Si le sumamos al antecedente el número 4 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos (7+4)-5= 6. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (7-5=2), después de sumarle 4 al antecedente ((7+4)-5= 6) la respuesta queda aumentada en dicha cantidad.

• Segundo caso (con la resta)

Sea la razón aritmética 18 a 3 es igual a 15:

Si le restamos al antecedente el número 2 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos (18-2)-3= 13. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (18-3=15), después de restarle 2 al antecedente ((18-2)-3= 13) la respuesta queda disminuida en dicha cantidad.

Segunda propiedad

Si al consecuente de una razón aritmética se suma o se resta una cantidad cualquiera, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en la cantidad de veces que indica dicho número.

• Primer caso (sumando una cantidad cualquiera al consecuente)

Sea la razón aritmética 45 a 13 es igual a 32:

Si le sumamos al consecuente el número 7 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos 45-(13+7)=25. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (45-13=32), después de sumarle 7 al consecuente 45-(13+7)=25) la respuesta queda disminuida en dicha cantidad es decir de 32 paso a ser 25.

• Segundo caso (restando una cantidad cualquiera al consecuente)

Sea la razón aritmética 36 a 12 es igual a 24:

Si le restamos al consecuente el número 3 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos 36-(12-3)= 27. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (36-12=24), después de restarle 3 al consecuente (36-(12-3)= 27) la respuesta queda aumentada en dicha cantidad es decir de 24 paso a ser 27.

Proporciones:

Se denomina razón al cociente entre dos cantidades: la razón de 8 a 3, por ejemplo es el cociente de 8 entre 3. Las razones se suelen escribir en formas de fracciones; en estos casos, el numerador se denomina también antecedente, y el denominador, consecuente.

Una igualdad de dos razones se llama: PROPORCION.

La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.

Proporcionalidad directa

Dadas dos variables x e y, y es (directamente) proporcional a x (x e y varían directamente, o x e y están en variación directa) si hay una constante k distinta de cero tal que:

La relación a menudo se denota y la razón constante           es llamada constante de proporcionalidad.

Proporcionalidad inversa

El concepto de proporcionalidad inversa puede ser contrastado contra la proporcionalidad directa. Considere dos variables que se dice son "inversamente proporcionales" entre sí. Si todas las otras variables se mantienen constantes, la magnitud o el valor absoluto de una variable de proporcionalidad inversa disminuirá si la otra variable aumenta, mientras que su producto se mantendrá (la constante de proporcionalidad k) siempre igual.

Formalmente, dos variables son inversamente proporcionales (o están en variación inversa, o en proporción inversa o en proporción recíproca) si una de las variables es directamente proporcional con la multiplicativa inversa (recíproca) de la otra, o equivalentemente, si sus productos son constantes. Se sigue que la variable y es inversamente proporcional a la variable x si existe una constante k distinta de cero tal que:           Y=k/x

Calculo de porcentajes y sus aplicaciones en la vida cotidiana.

En la vida cotidiana aparecen con frecuencia porcentajes, como, por ejemplo, en todo tipo de comercios, en los cuales los productos se rebajan en un 10% (lo que se lee << diez por ciento>>), un 25% o cualquier otro porcentaje.

Razones y proporciones.

                                                   Ficha Resumen       

Baldor, Aurelio. Aritmética; Teórico, Practica 1983		ISBN Atzcapotzalco, México, D.F.
Resumen: Razón o Relación: De dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades. Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuanto excede una de la otra, es decir, restándolas, o hallando cuantas veces contiene una de la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: Razones Aritméticas o por Diferencia y Razón geométrica o por cociente.
1ª Ed	Tipo de ficha: Resumen		Ficha No 2

Baldor, Aurelio. Aritmética; Teórico, Practica 1983		ISBN Atzcapotzalco, México, D.F.
Resumen: Razón Aritmética: De dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades. Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: Separando las dos cantidades con el signo – o con un punto (.). Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe 6-4 o 6.4 y se lee Seis es a cuatro. Los términos de la razón se llaman: Antecedentes el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 6-4, el antecedente es 6 y el consecuente 4. Razón Geométrica o por cociente: De dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades. Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: En forma de quebrado, separados numerador y denominador por una.
1ª Ed	Tipo de ficha: Resumen		Ficha No 3

Baldor, Aurelio Aritmética; Teórico, Practica 1983		ISBN Atzcapotzalco, México, D.F.
Resumen: Raya horizontal o separadas las cantidades por el signo de división. Así, la razón geométrica de 8 a 4 se escribe: 8/4 y se lee ocho es a cuatro Propiedades de las razones aritméticas o por diferencia. Como la razón aritmética o por diferencia de dos cantidades no es más que la diferencia indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda resta o diferencia. 1.    Si el antecedente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda aumentada o disminuida en ese número. 2.    Sial consecuente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en el mismo número.
1ª Ed	Tipo de ficha: Resumen		Ficha No 4

Baldor, Aurelio Aritmética; Teórico, Practica 1983		ISBN Atzcapotzalco, México, D.F.
Resumen: Si el antecedente y consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mismo número, la razón no varía. Propiedades de las razones geométricas o por cociente. Como la razón geométrica o por cociente de dos cantidades  no es más que una división indicada o un quebrado, las propiedades de las razones geométricas serán las propiedades de los quebrados. 1.    Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.
1ª Ed	Tipo de ficha: Resumen		Ficha No 5

Baldor, Aurelio Aritmética; Teórico, Practica 1983		ISBN Atzcapotzalco, México, D.F.
Resumen: 2.    Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número. 3.    Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número. 4.    Si el antecedente y el consecuente de una razón geométrica se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varía. Proporciones Aritméticas: Equidiferencia o proporción aritmética: Es la igualdad de dos diferencias o razones aritméticas. Una equidiferencia se escribe de los dos modos siguientes: a-b=c-d y a.b :: c.d y se lee a es a b como c es a d
1ª Ed	Tipo de ficha: Resumen		Ficha No 6

Baldor, Aurelio Aritmética; Teórico, Practica 1983		ISBN Atzcapotzalco, México, D.F.
Resumen: Términos de una equidiferencia. Los términos de una equidiferencia se llaman: Extremos el primero y el cuarto, y medios el segundo y tercero. También según lo visto antes, se llaman antecedentes al primero y tercer términos y consecuentes al segundo y al cuarto. Así, en la equidiferencia 20-5=21-6,20 y 6 son los extremos, 5 y 21 son los medios, 20 y 21 son los antecedentes, 5 y 6 son los consecuentes.
1ª Ed	Tipo de ficha: Resumen		Ficha No 7

Baldor, Aurelio Aritmética; Teórico, Practica 1983		ISBN Atzcapotzalco, México, D.F.
Resumen:  Clases de Equidiferencias. Hay dos clases: Equidiferencia Discreta, que es aquella cuyos medios no son iguales; por ejemplo, 9-7=8-6 y Equidiferencia Continua, que es la que tiene los medios iguales; Por ejemplo, 10-8=8-6. Propiedad fundamental de las equidiferencias teorema. En toda equidiferencia la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.
1ª Ed	Tipo de ficha: Resumen		Ficha No 8

Baldor, Aurelio Aritmética; Teórico, Practica 1983		ISBN Atzcapotzalco, México, D.F.
Resumen: Sea la equidiferencia a-b=c-d. Vamos a demostrar que a+d= c+b. En efecto: Sumando a los dos miembros de la equidiferencia dada a-b=c-d un extremo y un medio, b+d, tendremos:   a-b+b+d = c-d+b+d. Y simplificando, queda a+d = c+b que era lo que queríamos demostrar. Ejemplo: En la equidiferencia 8-6=9-7 tenemos: 8+7=9+6 o sea  15=15. Corolarios: De la propiedad fundamental de la equidiferencias se derivan los siguientes corolarios: 1.    En toda equidiferencia un extremo es igual a la suma de los medios, menos el otro extremos. Sea la equidiferencia a-b=c-d. Vamos a demostrar que a=b+c-d. En efecto. Ya sabemos por la propiedad fundamental, que: a+d = b+c.
1ª Ed	Tipo de ficha: Resumen		Ficha No 9

Baldor, Aurelio Aritmética; Teórico, Practica 1983		ISBN Atzcapotzalco, México, D.F.
Resumen:   Restando c a los dos miembros, tendremos: a+d-c = b+c-c  y simplificando: b=a+d-c. Ejemplo: en 9-5=10-6 tenemos que 9=5+10-6. 2.    En toda equidiferencia un  medio es igual a la suma de los extremos, menos el otro medio. Sea la equidiferencia a-b=c-d. Vamos a demostrar que b =a+d-c. En efecto: Ya sabemos que a+d =b+c, Restando c a los dos miembros, tendremos: a+d-c =b+c-c. Y simplificando: b=a+d-c. Ejemplo: en 11-7=9-5 tenemos que 7=11+5-9. Media diferencial o media aritmética: Es cada uno de los términos medios de una equidiferencia continua, o sea cada uno de los medios de una equidiferencia, cuando son iguales. Así, en la equidiferencia 8-6=6-4, la media diferencial es 6. Teorema: La media diferencial es igual a la semisuma de los extremos. Sea la equidiferencia a-b=b-c. Vamos a demostrar que b=a+b
1ª Ed	Tipo de ficha: Resumen		Ficha No 10