Universidad Pedagogica de El
Salvador
Marco
teórico.
Razones
y Proporciones:
Razón:
Razón son los números dados en un cierto orden distintos de cero se
llama razón al cociente entre ellos y la proporción son cuatro números
distintos a cero en un cierto orden constituye una proporción si la razón de
los dos números primeros es igual a la razón de los dos segundos, una de las
más importantes aplicaciones de las proporciones está en la resolución de los
problemas de regla de tres simple y la compuesta.
Llamaremos Razón de dos números a su cociente indicado.
En matemática, una razón es una relación entre dos
magnitudes (es decir, objetos, personas, estudiantes, cucharadas, unidades del
SI, etc.), generalmente se expresa como "a es a b" o a:
b.
Unidades
Cuando las magnitudes
comparten la misma unidad se puede expresar como un cociente adimensional de los dos.En el caso que no compartan dimensiones se dejan explicitas las unidades. Por ejemplo, 50 g/ml, unidad común en recetas de cocina.
Progresiones
La razón geométrica es la comparación de dos cantidades por su cociente, donde se ve cuántas veces contiene una a la otra. Sólo si las magnitudes a comparar tienen la misma unidad de medida la razón es adimensional.Una razón «X: Y» se puede leer como «X sobre Y», o bien «X es a Y».
El numerador de la razón (es decir, el X) se llama antecedente y al denominador (el Y) se le conoce como consecuente.
Ejemplo
18:6 representa la razón de 18 entre 6, que es igual a 3 (18 tiene tres veces 6). Su razón geométrica es 3, su antecedente 18, y su consecuente 6.
Razón aritmética
La razón aritmética de dos cantidades es la diferencia (o restas) de dichas cantidades. La razón aritmética se puede escribir colocando entre las dos cantidades el signo. O bien con el signo -. Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6.4 o 6-4.
Toda razón se puede expresar como una fracción y eventualmente como un decimal.
Propiedades de las razones aritméticas
Como la razón aritmética de dos cantidades no es más que la resta indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda suma o restas.Primera propiedad
Si al antecedente se le suma o resta una cantidad la razón aritmética queda aumentada o disminuida dicha cantidad.- Primer caso (con la suma)
Sea la razón aritmética 7 a
5 es igual a 2:
Si le sumamos al antecedente
el número 4 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos
(7+4)-5= 6. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (7-5=2),
después de sumarle 4 al antecedente ((7+4)-5= 6) la respuesta queda
aumentada en dicha cantidad.
- Segundo caso (con la resta)
Sea la razón aritmética 18 a
3 es igual a 15:
Si le restamos al
antecedente el número 2 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces
tendríamos (18-2)-3= 13. Como se observa la respuesta de la razón aritmética
original
(18-3=15), después de restarle 2 al antecedente ((18-2)-3= 13) la
respuesta queda disminuida en dicha cantidad.
Segunda propiedad
Si al consecuente de una razón aritmética se suma o se resta una cantidad cualquiera, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en la cantidad de veces que indica dicho número.- Primer caso (sumando una cantidad cualquiera al consecuente)
Sea la razón aritmética 45 a
13 es igual a 32:
Si le sumamos al consecuente
el número 7 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos
45-(13+7)=25. Como se observa la respuesta de la razón aritmética
original (45-13=32), después de sumarle 7 al consecuente 45-(13+7)=25)
la respuesta queda disminuida en dicha cantidad es decir de 32 paso a ser 25.
- Segundo caso (restando una cantidad cualquiera al consecuente)
Sea la razón aritmética 36 a
12 es igual a 24:
Si le restamos al
consecuente el número 3 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces
tendríamos 36-(12-3)= 27. Como se observa la respuesta de la razón
aritmética original (36-12=24), después de restarle 3 al consecuente
(36-(12-3)= 27) la respuesta queda aumentada en dicha cantidad es decir
de 24 paso a ser 27.
Proporciones:
Se denomina razón al cociente entre dos cantidades: la
razón de 8 a 3, por ejemplo es el cociente de 8 entre 3. Las razones se suelen
escribir en formas de fracciones; en estos casos, el numerador se denomina
también antecedente, y el denominador, consecuente.
Una igualdad de dos razones se llama: PROPORCION.
La proporcionalidad es una relación entre magnitudes
medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en
la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy
común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones
lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para
expresar las relaciones entre las magnitudes.
Proporcionalidad directa
Dadas dos
variables x e y, y es (directamente) proporcional a
x (x e y varían directamente, o x e y están en variación
directa) si hay una constante k distinta de cero tal que:
La
relación a menudo se denota y la razón constante es llamada constante de
proporcionalidad.
Proporcionalidad
inversa
El
concepto de proporcionalidad inversa puede ser contrastado contra la proporcionalidad
directa. Considere dos variables que se dice son "inversamente
proporcionales" entre sí. Si todas las otras variables se mantienen
constantes, la magnitud o el valor absoluto de una variable de proporcionalidad
inversa disminuirá si la otra variable aumenta, mientras que su producto se
mantendrá (la constante de proporcionalidad k) siempre igual.
Formalmente,
dos variables son inversamente proporcionales (o están en variación
inversa, o en proporción inversa o en proporción recíproca)
si una de las variables es directamente proporcional con la multiplicativa
inversa (recíproca) de la otra, o equivalentemente, si sus productos son
constantes. Se sigue que la variable y es inversamente proporcional a la
variable x si existe una constante k distinta de cero tal que: Y=k/x
Calculo de porcentajes y sus aplicaciones en
la vida cotidiana.
En la vida cotidiana aparecen con frecuencia porcentajes,
como, por ejemplo, en todo tipo de comercios, en los cuales los productos se
rebajan en un 10% (lo que se lee << diez por ciento>>), un 25% o
cualquier otro porcentaje.
Razones
y proporciones.
Ficha
Resumen
Baldor, Aurelio.
Aritmética; Teórico, Practica 1983
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ISBN
Atzcapotzalco, México, D.F.
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Resumen:
Razón o Relación:
De dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades. Dos cantidades
pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuanto excede una de la otra,
es decir, restándolas, o hallando cuantas veces contiene una de la otra, es
decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: Razones Aritméticas o por Diferencia y Razón geométrica o por cociente.
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1ª Ed
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Tipo de ficha: Resumen
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Ficha No 2
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Baldor, Aurelio.
Aritmética; Teórico, Practica 1983
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ISBN
Atzcapotzalco, México, D.F.
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Resumen:
Razón Aritmética:
De dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades. Las razones
aritméticas se pueden escribir de dos modos: Separando las dos cantidades con
el signo – o con un punto (.).
Así,
la razón aritmética de 6 a 4 se escribe 6-4 o 6.4 y se lee Seis es a cuatro. Los términos de la
razón se llaman: Antecedentes el
primero y consecuente el segundo.
Así, en la razón 6-4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.
Razón Geométrica o por
cociente: De dos cantidades es el cociente indicado
de dichas cantidades. Las razones geométricas se pueden escribir de dos
modos: En forma de quebrado, separados numerador y denominador por una.
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1ª
Ed
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Tipo de ficha: Resumen
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Ficha No 3
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Baldor, Aurelio
Aritmética; Teórico, Practica 1983
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ISBN
Atzcapotzalco, México, D.F.
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Resumen: Raya
horizontal o separadas las cantidades por el signo de división.
Así, la razón geométrica de 8 a 4 se
escribe: 8/4 y se lee ocho es a cuatro
Propiedades
de las razones aritméticas o por diferencia.
Como la razón aritmética o por diferencia de dos cantidades no es más que la
diferencia indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones
aritméticas serán las propiedades de toda resta o diferencia.
1. Si
el antecedente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón
queda aumentada o disminuida en ese número.
2. Sial
consecuente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda
disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en el mismo número.
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1ª
Ed
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Tipo de ficha: Resumen
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Ficha No 4
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Baldor, Aurelio
Aritmética; Teórico, Practica 1983
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ISBN
Atzcapotzalco, México, D.F.
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Resumen:
Si
el antecedente y consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mismo
número, la razón no varía.
Propiedades
de las razones geométricas o por cociente.
Como
la razón geométrica o por cociente de dos cantidades no es más que una división indicada o un
quebrado, las propiedades de las razones geométricas serán las propiedades de
los quebrados.
1.
Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica
o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese
número.
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1ª
Ed
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Tipo de ficha: Resumen
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Ficha No 5
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Baldor, Aurelio
Aritmética; Teórico, Practica 1983
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ISBN
Atzcapotzalco, México, D.F.
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Resumen:
2.
Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica
o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.
3.
Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica
o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y
multiplicada en el segundo por ese mismo número.
4.
Si el antecedente y el consecuente de una razón
geométrica se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varía.
Proporciones
Aritméticas:
Equidiferencia o proporción aritmética: Es la igualdad de
dos diferencias o razones aritméticas.
Una
equidiferencia se escribe de los dos modos siguientes:
a-b=c-d
y a.b :: c.d y se lee a es a b como c es a d
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1ª
Ed
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Tipo de ficha: Resumen
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Ficha No 6
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Baldor, Aurelio
Aritmética; Teórico, Practica 1983
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ISBN
Atzcapotzalco, México, D.F.
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Resumen: Términos
de una equidiferencia.
Los términos de una equidiferencia se
llaman: Extremos el primero y el
cuarto, y medios el segundo y
tercero. También según lo visto antes, se llaman antecedentes al primero y tercer términos y consecuentes al segundo y al cuarto.
Así, en la equidiferencia 20-5=21-6,20
y 6 son los extremos, 5 y 21 son los medios, 20 y 21 son los antecedentes, 5
y 6 son los consecuentes.
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1ª Ed
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Tipo de ficha: Resumen
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Ficha No 7
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Baldor, Aurelio
Aritmética;
Teórico, Practica 1983
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ISBN
Atzcapotzalco, México, D.F.
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Resumen:
Clases de Equidiferencias.
Hay dos clases: Equidiferencia
Discreta, que es aquella cuyos medios no son iguales; por ejemplo, 9-7=8-6 y
Equidiferencia Continua, que es la que tiene los medios iguales; Por ejemplo,
10-8=8-6.
Propiedad fundamental de
las equidiferencias teorema.
En
toda equidiferencia la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.
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1ª Ed
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Tipo de ficha:
Resumen
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Ficha No 8
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Baldor, Aurelio
Aritmética;
Teórico, Practica 1983
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ISBN
Atzcapotzalco, México, D.F.
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Resumen:
Sea la equidiferencia a-b=c-d. Vamos a demostrar que a+d= c+b.
En
efecto: Sumando a los dos miembros de la equidiferencia dada a-b=c-d un
extremo y un medio, b+d, tendremos: a-b+b+d = c-d+b+d. Y
simplificando, queda a+d = c+b que era lo que queríamos demostrar.
Ejemplo:
En la equidiferencia 8-6=9-7 tenemos: 8+7=9+6 o sea 15=15.
Corolarios:
De la propiedad fundamental de la equidiferencias se derivan los siguientes
corolarios:
1. En
toda equidiferencia un extremo es igual a la suma de los medios, menos el
otro extremos.
Sea la equidiferencia a-b=c-d. Vamos a
demostrar que a=b+c-d. En efecto. Ya sabemos por la propiedad fundamental,
que: a+d = b+c.
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1ª Ed
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Tipo de ficha:
Resumen
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Ficha No 9
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Baldor, Aurelio
Aritmética;
Teórico, Practica 1983
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ISBN
Atzcapotzalco,
México, D.F.
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Resumen:
Restando c a los dos miembros, tendremos:
a+d-c = b+c-c y simplificando:
b=a+d-c.
Ejemplo:
en 9-5=10-6 tenemos que 9=5+10-6.
2.
En toda equidiferencia un medio es igual a la suma de los extremos,
menos el otro medio.
Sea la equidiferencia a-b=c-d. Vamos a
demostrar que b =a+d-c. En efecto: Ya sabemos que a+d =b+c, Restando c a los
dos miembros, tendremos: a+d-c =b+c-c. Y simplificando: b=a+d-c.
Ejemplo: en 11-7=9-5 tenemos que 7=11+5-9.
Media
diferencial o media aritmética: Es cada uno de los términos medios de una
equidiferencia continua, o sea cada uno de los medios de una equidiferencia,
cuando son iguales. Así, en la equidiferencia 8-6=6-4, la media diferencial
es 6.
Teorema:
La media diferencial es igual a la semisuma de los extremos.
 Sea
la equidiferencia a-b=b-c. Vamos a demostrar que b=a+b |
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1ª Ed
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Tipo de ficha:
Resumen
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Ficha No 10
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